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<!DOCTYPE html>

<title>Toeplitz-Vermutung</title>

</head>

<h1 id="firstHeading" class="firstHeading mw-first-heading">Toeplitz-Vermutung</h1>

</header>

</div>

Bei der Toeplitz-Vermutung handelt es sich um eine ungelöste Fragestellung aus der <a href="Geometrie" title="Geometrie">Geometrie</a>: Enthält jede geschlossene <a href="Jordan-Kurve" title="Jordan-Kurve">Jordan-Kurve</a> alle Eckpunkte eines <a href="Quadrat" title="Quadrat">Quadrates</a>?

In einigen Spezialfällen wurde die Vermutung bereits gelöst, bspw. wenn die Kurve <a href="Konvexe_und_konkave_Funktionen" title="Konvexe und konkave Funktionen">konvex</a> oder stückweise <a href="Glatte_Funktion" title="Glatte Funktion"> glatt</a> ist. Das Problem wurde erstmals von <a href="Otto_Toeplitz" title="Otto Toeplitz">Otto Toeplitz</a><a href="#cite_note-1">[1]</a> im Jahr 1911 beschrieben. Die ersten positiven Ergebnisse wurden von <a href="Arnold_Emch" title="Arnold Emch">Arnold Emch</a><a href="#cite_note-2">[2]</a> und <a href="Lew_Genrichowitsch_Schnirelman" title="Lew Genrichowitsch Schnirelman">Lew Genrichowitsch Schnirelman</a><a href="#cite_note-3">[3]</a> gefunden. Der allgemeine Fall ist offen (2016).<a href="#cite_note-4">[4]</a>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Definition">Definition</h2></div>

Sei <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle C}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle C}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4fc55753007cd3c18576f7933f6f089196732029.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.766ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle C}" loading="lazy"> eine geschlossene <a href="Jordan-Kurve" title="Jordan-Kurve">Jordan-Kurve</a>. Ein <a href="Polygon" title="Polygon">Polygon</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle P}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle P}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b4dc73bf40314945ff376bd363916a738548d40a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.745ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle P}" loading="lazy"> ist in <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle C}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle C}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4fc55753007cd3c18576f7933f6f089196732029.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.766ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle C}" loading="lazy"> eingeschrieben, wenn alle <a href="Polygon#Definition_und_Bezeichnungen" title="Polygon">Eckpunkte</a> von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle P}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle P}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b4dc73bf40314945ff376bd363916a738548d40a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.745ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle P}" loading="lazy"> zu <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle C}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle C}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4fc55753007cd3c18576f7933f6f089196732029.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.766ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle C}" loading="lazy"> gehören. Die Toeplitz-Vermutung lautet:

<dl><dd>Jede geschlossene Jordan-Kurve besitzt ein eingeschriebenes Quadrat.</dd></dl>

Dabei ist es nicht notwendig, dass die Eckpunkte des Quadrates in einer gewissen Reihenfolge vorkommen.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Beispiele">Beispiele</h2></div>

Manche geometrischen Darstellungen, wie zum Beispiel <a href="Kreis" title="Kreis">Kreis</a> und <a href="Quadrat" title="Quadrat">Quadrat</a>, lassen unendlich viele eingeschriebene Quadrate zu. Wenn es sich bei C um ein <a href="Stumpfwinkliges_Dreieck" title="Stumpfwinkliges Dreieck">stumpfwinkliges Dreieck</a> handelt, dann kann es genau ein eingeschriebenes Quadrat geben, bei rechtwinkligen Dreiecken kann es genau zwei geben, und spitze Dreiecke lassen genau drei zu.<a href="#cite_note-5">[5]</a>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Gelöste_Fälle">Gelöste Fälle</h2></div>

Ein naheliegender Ansatz wäre, das Problem des eingeschriebenen Quadrats zu lösen, indem man beweist, dass eine spezielle Klasse von geschlossenen Kurven immer ein eingeschriebenes Quadrat enthält, und anschließend eine beliebige Kurve durch eine Folge geschlossener Kurven approximiert und daraus schließt, dass es ein eingeschriebenes Quadrat gibt als <a href="Grenzwert_(Funktion)" title="Grenzwert (Funktion)">Grenzwert</a> der Quadrate, welche in die Kurvenfolge eingeschrieben werden können. Jedoch muss der Grenzwert einer Folge von Quadraten nicht notwendigerweise ein Quadrat sein, sondern kann auch ein einzelner Punkt sein.<a href="#cite_note-6">[6]</a>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Stückweise_analytische_Kurven">Stückweise analytische Kurven</h3></div>

<a href="Arnold_Emch" title="Arnold Emch">Emch</a> (1916) hat gezeigt, dass stückweise <a href="Analytische_Funktion" title="Analytische Funktion">analytische Kurven</a> immer eingeschriebene Quadrate haben. Insbesondere trifft das auf <a href="Polygon" title="Polygon">Polygone</a> zu. Emch’s Beweis betrachtet die Kurven, die von den <a href="Mittelpunkt" title="Mittelpunkt">Mittelpunkten</a> von denjenigen <a href="Sekante" title="Sekante">Sekanten</a>, die parallel zu einer gegebenen Geraden sind, gebildet werden. Er zeigt, dass man, wenn diese Kurven mit den Kurven, die auf gleiche Weise für eine lotrechte Familie von Sekanten erzeugt wurden, geschnitten werden, eine ungerade Anzahl von Schnittpunkten erhält. Daher gibt es immer zumindest einen Schnittpunkt, der den Mittelpunkt einer in die Kurve eingeschriebenen <a href="Raute" title="Raute">Raute</a> bildet. Durch kontinuierliche Rotation der beiden lotrechten Geraden und Anwendung des <a href="Zwischenwertsatz" title="Zwischenwertsatz">Zwischenwertsatzes</a> zeigt er, dass zumindest eine dieser Rauten ein Quadrat ist.<a href="#cite_note-7">[7]</a>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Lokal_monotone_Kurven">Lokal monotone Kurven</h3></div>

Walter Stromquist hat bewiesen, dass jede lokal monotone ebene einfache Kurve ein eingeschriebenes Quadrat zulässt.<a href="#cite_note-8">[8]</a>

Die Bedingung der lokalen Monotonie hat zur Folge, dass sich für jeden Punkt p die Kurve C lokal als Graph der Funktion <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y=f(x)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y=f(x)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2311a6a75c54b0ea085a381ba472c31d59321514.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:8.672ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle y=f(x)}" loading="lazy"> darstellen lässt. Genauer gesagt: Für jeden Punkt <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle p}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle p}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/81eac1e205430d1f40810df36a0edffdc367af36.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; margin-left: -0.089ex; width:1.259ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle p}" loading="lazy"> auf <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle C}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle C}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4fc55753007cd3c18576f7933f6f089196732029.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.766ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle C}" loading="lazy"> existiert eine Umgebung <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle U(p)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle U(p)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/218ca5a80b1a2b8dd5a21ebae88f55219a5c7f83.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.761ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle U(p)}" loading="lazy"> und eine festgelegte Richtung <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n(p)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n(p)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a50fb76fa826b92c207b8d5b7fd43c86a3e48c70.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.373ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle n(p)}" loading="lazy"> (die Richtung der „<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b8a6208ec717213d4317e666f1ae872e00620a0d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.155ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle y}" loading="lazy">-Achse“), sodass keine Sehne von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle C}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle C}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4fc55753007cd3c18576f7933f6f089196732029.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.766ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle C}" loading="lazy"> in dieser Umgebung parallel zu <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n(p)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n(p)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a50fb76fa826b92c207b8d5b7fd43c86a3e48c70.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.373ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle n(p)}" loading="lazy"> ist. Lokal monotone Kurven beinhalten alle <a href="Polygon" title="Polygon">Polygone</a>, alle geschlossenen <a href="Konvexe_Menge" title="Konvexe Menge">konvexen</a> Kurven sowie alle stückweisen <a href="Glatte_Funktion" title="Glatte Funktion">C1-Kurven</a> ohne Spitze.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Kurven_ohne_spezielle_Trapezoide">Kurven ohne spezielle Trapezoide</h3></div>

Eine schwächere Bedingung für die Kurve als die lokale Monotonie ist, dass für manche <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \varepsilon >0}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \varepsilon >0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e04ec3670b50384a3ce48aca42e7cc5131a06b12.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.344ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \varepsilon >0}" loading="lazy"> die Kurve keine eingeschriebenen sogenannte „spezielle Trapezoide“ der Größe <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \varepsilon }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \varepsilon }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a30c89172e5b88edbd45d3e2772c7f5e562e5173.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.083ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \varepsilon }" loading="lazy"> hat. Ein spezielles Trapezoid ist dabei das <a href="Trapez_(Geometrie)" title="Trapez (Geometrie)">Trapezoid</a> mit drei gleich langen Seiten, jede davon länger als die vierte Seite. Die Eckpunkte des Trapezoids sind dabei so auf der Kurve angeordnet, dass ihre Reihenfolge mit dem eines Durchlaufs der Kurve im Uhrzeigersinn übereinstimmt. Als Größe des Trapezoids wird dabei die Länge des Teils der Kurve verstanden, der dem Verlauf entlang der drei gleich langen Seiten des Trapezoids entspricht. Dessen Größe ist Teil der Kurve, die um die drei gleich langen Seiten erweitert ist. Falls es keine derartigen Trapezoide gibt (oder eine gerade Anzahl davon), kann ein Grenzübergang ausgeführt und so gezeigt werden, dass die Kurven immer ein eingeschriebenes Quadrat haben.<a href="#cite_note-9">[9]</a>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Kurven_im_Kreisring">Kurven im Kreisring</h3></div>

Wenn eine Jordan-Kurve in einem <a href="Kreisring" title="Kreisring">Kreisring</a> liegt, dessen Außenradius höchstens <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (1+{\sqrt {2}})}">

<msqrt>

</msqrt>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (1+{\sqrt {2}})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/67ec3ef1629a8fc51ccb64c972fb8d9cf1bcb7d5.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:8.91ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle (1+{\sqrt {2}})}" loading="lazy">-mal so groß wie der Innenradius ist, und die Kurve so gezeichnet ist, dass sie den inneren Kreis vom äußeren trennt, dann besitzt sie ein eingeschriebenes Quadrat. Falls diese Kurve durch eine geschlossene Kurve approximiert werden kann, dann sind alle „großen“ Quadrate, die den Mittelpunkt des Kreisrings beinhalten und in dieser Approximation eingeschrieben sind, topologisch von den Quadraten getrennt, die den Mittelpunkt des Kreisrings nicht enthalten. Der Grenzwert der Folge der großen Quadrate muss wieder ein großes Quadrat sein und fällt nicht zu einem einzelnen Punkt zusammen. Daher darf der Grenzwertsatz angewandt werden.<a href="#cite_note-10">[10]</a>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Symmetrische_Kurven">Symmetrische Kurven</h3></div>

Zentralsymmetrische Kurven besitzen ebenfalls eingeschriebene Quadrate, sogar Fraktale wie zum Beispiel die <a href="Koch-Kurve" title="Koch-Kurve">Koch-Kurve</a>.<a href="#cite_note-11">[11]</a>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Glatte_Kurven">Glatte Kurven</h3></div>

Der Beweis für geschlossene <a href="Glatte_Kurve" title="Glatte Kurve">glatte</a> Jordan-Kurven gelang Schnirelman 1929.<a href="#cite_note-12">[12]</a> 2020 zeigten Joshua Greene und Andrew Lobb,<a href="#cite_note-13">[13]</a><a href="#cite_note-14">[14]</a> dass die Kurve in diesem Fall ein Rechteck enthält, das ähnlich zu einem beliebigen Rechteck ist (gekennzeichnet durch das Verhältnis der Seitenlängen). Das Toeplitz-Problem ist allgemeiner für beliebige Jordan-Kurven gestellt. Diese müssen nicht glatt sein, sondern nur stetig.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Varianten_und_Generalisierung">Varianten und Generalisierung</h2></div>

Man kann sich die Frage stellen, ob auch andere Formen in eine beliebige Jordan-Kurve eingeschrieben werden können. Es ist bekannt, dass es für jedes Dreieck <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \Delta }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Delta }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/32769037c408874e1890f77554c65f39c523ebe2.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.936ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \Delta }" loading="lazy"> und jede geschlossene Jordan-Kurve <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle C}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle C}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4fc55753007cd3c18576f7933f6f089196732029.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.766ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle C}" loading="lazy"> ein zu <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \Delta }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Delta }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/32769037c408874e1890f77554c65f39c523ebe2.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.936ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \Delta }" loading="lazy"> ähnliches Dreieck gibt, das in <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle C}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle C}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4fc55753007cd3c18576f7933f6f089196732029.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.766ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle C}" loading="lazy"> eingeschrieben ist.<a href="#cite_note-15">[15]</a><a href="#cite_note-16">[16]</a> Darüber hinaus ist die Menge der Eckpunkte solcher Dreiecke eine in der Kurve <a href="Dichte_Teilmenge" title="Dichte Teilmenge">dichte</a> <a href="Teilmenge" title="Teilmenge">Teilmenge</a>.<a href="#cite_note-17">[17]</a> Es gibt vor allem immer ein gleichseitiges eingeschriebenes Dreieck. Es ist auch bekannt, dass jede geschlossene Jordan-Kurve ein eingeschriebenes <a href="Rechteck" title="Rechteck">Rechteck</a> zulässt.

Manche Verallgemeinerungen der Toeplitz-Vermutung erwägen eingeschriebene Polygone für Kurven und sogar allgemeine <a href="Kontinuum_(Mathematik)" title="Kontinuum (Mathematik)">Kontinua</a> in höherdimensionalen <a href="Euklidischer_Raum" title="Euklidischer Raum">euklidischen Räumen</a>.

Stromquist hat zum Beispiel bewiesen, dass jede stetige geschlossene Kurve <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle C}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle C}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4fc55753007cd3c18576f7933f6f089196732029.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.766ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle C}" loading="lazy"> im <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}">

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c510b63578322050121fe966f2e5770bea43308d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.897ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}" loading="lazy">, die die Bedingung, dass keine zwei Kreissehnen von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle C}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle C}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4fc55753007cd3c18576f7933f6f089196732029.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.766ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle C}" loading="lazy"> in einer geeigneten Nachbarschaft von irgendeinem Punkt senkrecht zueinander sind, erfüllt, ein eingeschriebenes Viereck mit gleichen Seiten und gleichen Diagonalen zulässt.<a href="#cite_note-18">[18]</a> Diese Klasse von Kurven beinhaltet alle <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle C^{2}}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle C^{2}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4fd6a5946b7e916352b0afc557f992328bac85e8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.852ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle C^{2}}" loading="lazy">-Kurven.

Nielsen und Wright haben bewiesen, dass jedes symmetrische Kontinuum <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle K}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle K}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2b76fce82a62ed5461908f0dc8f037de4e3686b0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.066ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle K}" loading="lazy"> in <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}">

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c510b63578322050121fe966f2e5770bea43308d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.897ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}" loading="lazy"> viele eingeschriebene Rechtecke beinhaltet.<a href="#cite_note-19">[19]</a> Heinrich W. Guggenheimer konnte zeigen, dass jede <a href="Hyperfl%C3%A4che" title="Hyperfläche">Hyperfläche</a>, die <a href="Diffeomorphismus" title="Diffeomorphismus"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle C^{3}}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle C^{3}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/88d98c7db93d80e39989f817a3b84c213730e367.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.852ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle C^{3}}" loading="lazy">-diffeomorph</a> zu der <a href="Sph%C3%A4re" title="Sphäre">Sphäre</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle S^{n-1}}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle S^{n-1}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/742bebb03fe630674b18823a59d2c75efd0066e7.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:4.841ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle S^{n-1}}" loading="lazy"> ist, <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 2n}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 2n}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/134afa8ff09fdddd24b06f289e92e3a045092bd1.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.557ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle 2n}" loading="lazy"> Eckpunkte eines regulären <a href="Hyperw%C3%BCrfel" title="Hyperwürfel">Hyperwürfels</a> beinhaltet.<a href="#cite_note-20">[20]</a>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Einzelnachweise">Einzelnachweise</h2></div>

<li id="cite_note-1"><a href="#cite_ref-1">↑</a> <a href="Otto_Toeplitz" title="Otto Toeplitz">Otto Toeplitz</a>: <cite style="font-style:italic">Über einige Aufgaben der Analysis situs</cite>. In: <cite style="font-style:italic">Verhandlungen der Schweizerischen Naturforschenden Gesellschaft in Solothurn</cite>. 94. Jahrgang, 1911, S. 197.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Toeplitz-Vermutung&rft.atitle=%C3%9Cber+einige+Aufgaben+der+Analysis+situs&rft.au=Otto%26%2332%3BToeplitz&rft.btitle=Verhandlungen+der+Schweizerischen+Naturforschenden+Gesellschaft+in+Solothurn&rft.date=1911&rft.genre=book&rft.pages=197&rft.volume=94.+Jahrgang" style="display:none">

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<li id="cite_note-7"><a href="#cite_ref-7">↑</a> Benjamin Matschke: <cite style="font-style:italic">A survey on the square peg problem</cite>. In: <cite style="font-style:italic"><a href="Notices_of_the_American_Mathematical_Society" title="Notices of the American Mathematical Society">Notices of the American Mathematical Society</a></cite>. 61. Jahrgang, 2014, S. 346–253, <a href="Digital_Object_Identifier" title="Digital Object Identifier">doi</a>:<a rel="nofollow" class="external text" href="https://doi.org/10.1016/0033-5894%2885%2990074-2">10.1016/0033-5894(85)90074-2</a>.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Toeplitz-Vermutung&rft.atitle=A+survey+on+the+square+peg+problem&rft.au=Benjamin%26%2332%3BMatschke&rft.btitle=Notices+of+the+American+Mathematical+Society&rft.date=2014&rft.doi=10.1016%2F0033-5894%2885%2990074-2&rft.genre=book&rft.pages=346-253&rft.volume=61.+Jahrgang" style="display:none">

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<li id="cite_note-18"><a href="#cite_ref-18">↑</a> Walter Stromquist: <cite style="font-style:italic">Inscribed squares and square-like quadrilaterals in closed curves</cite>. In: <cite style="font-style:italic">Mathematika</cite>. 36. Jahrgang, 1989, S. 187–197, <a href="Digital_Object_Identifier" title="Digital Object Identifier">doi</a>:<a rel="nofollow" class="external text" href="https://doi.org/10.1112/S0025579300013061">10.1112/S0025579300013061</a>.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Toeplitz-Vermutung&rft.atitle=Inscribed+squares+and+square-like+quadrilaterals+in+closed+curves&rft.au=Walter%26%2332%3BStromquist&rft.btitle=Mathematika&rft.date=1989&rft.doi=10.1112%2FS0025579300013061&rft.genre=book&rft.pages=187-197&rft.volume=36.+Jahrgang" style="display:none">

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<li id="cite_note-19"><a href="#cite_ref-19">↑</a> Mark Nielsen, S. E. Wright: <cite style="font-style:italic">Rectangles inscribed in symmetric continua</cite>. In: <cite style="font-style:italic">Geometriae Dedicata</cite>. 56. Jahrgang, 1995, S. 285–297, <a href="Digital_Object_Identifier" title="Digital Object Identifier">doi</a>:<a rel="nofollow" class="external text" href="https://doi.org/10.1007/BF01263570">10.1007/BF01263570</a>.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Toeplitz-Vermutung&rft.atitle=Rectangles+inscribed+in+symmetric+continua&rft.au=Mark%26%2332%3BNielsen%2C%26%2332%3BS.+E.%26%2332%3BWright&rft.btitle=Geometriae+Dedicata&rft.date=1995&rft.doi=10.1007%2FBF01263570&rft.genre=book&rft.pages=285-297&rft.volume=56.+Jahrgang" style="display:none">

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<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Literatur">Literatur</h2></div>

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Dieser Artikel wurde von <a class="external text" title="Zuletzt bearbeitet am 2025-10-17" href="https://de.wikipedia.org/wiki/?title=Toeplitz-Vermutung&oldid=260677489">Wikipedia</a> herausgegeben. Der Text ist unter <a class="external text" href="https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/deed.de">Creative Commons Attribution-Share Alike 4.0</a> verfügbar, sofern nicht anders angegeben. Für die Mediendateien können zusätzliche Bedingungen gelten.

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</body></html>